합이 10이 되는 조합 전부와 실제로 나오는 빈도

1부터 9까지의 숫자로 10을 만드는 방법은 많지 않습니다. 이 페이지는 2~5개짜리 조합을 하나도 빠짐없이 나열하고, 각각이 나올 정확한 확률을 계산한 뒤, 시뮬레이션한 귤게임 판 100,000개에서 실제로 터뜨릴 수 있는 네모로 얼마나 자주 나타나는지 확인합니다.

조합은 몇 가지인가

순서는 무시하고 숫자의 묶음으로 셉니다. 네모는 숫자가 어느 구석에 있는지 따지지 않으니 3+7과 7+3은 판 위에서 같은 것입니다. 1~9 숫자로, 같은 숫자를 여러 번 써도 된다고 하면 10을 만드는 방법은 두 개로 정확히 5가지, 세 개로 8가지, 네 개로 9가지, 다섯 개로 7가지입니다. 실제로 쓸 만한 범위에서 모두 29가지입니다. 여섯 개 이상도 1 열 개까지 12가지가 더 있지만, 판 통계에서 보듯 그렇게 큰 네모는 실제 판에 거의 없습니다.

확률과 빈도를 붙인 전체 표

아래 표에는 조합마다 숫자 세 개가 붙어 있습니다. 순서는 그 조합이 나오는 칸 순서의 가짓수입니다. 1+9는 1 다음 9, 9 다음 1로 두 가지지만 5+5는 한 가지뿐입니다. 확률은 그만큼의 무작위 귤이 바로 이 조합일 정확한 확률로, 순서 가짓수를 9의 (개수)제곱으로 나눈 값입니다. 판당은 시뮬레이션에서 새 PC 판 하나에 그 조합이 터뜨릴 수 있는 네모로 평균 몇 번 나왔는지입니다.

5+5만 다른 짝의 절반인 이유

다섯 짝은 똑같이 쉬워 보이지만 똑같이 자주 나오지는 않습니다. 1+9, 2+8, 3+7, 4+6은 판마다 7.734번쯤 나왔는데 5+5는 3.8685번으로 거의 정확히 절반이었습니다. 이유는 순서 칸에 있습니다. 나란한 두 칸이 1+9가 되려면 앞이 1이고 뒤가 9이거나 그 반대면 되니 81분의 2입니다. 5+5는 둘 다 5여야 하니 81분의 1입니다. 시뮬레이션은 이 2 대 1 비율을 거의 그대로 보여 줍니다.

더 큰 조합에서도 똑같습니다. 세 개짜리 중 숫자가 모두 다른 네 가지(1+2+7, 1+3+6, 1+4+5, 2+3+5)는 순서가 여섯 가지씩이고, 판마다 각각 2.3462번쯤 나왔습니다. 1+1+8이나 2+4+4처럼 같은 숫자가 겹치는 조합은 순서가 세 가지뿐이라 그 절반쯤 나왔습니다. 네 개짜리에서 숫자가 모두 다른 조합은 1+2+3+4 하나뿐입니다. 순서가 24가지라 판당 1.4679번으로 네 개짜리 중 단연 가장 흔합니다.

크기가 커질수록 확률은 빠르게 준다

크기별로 확률을 더하면, 그만큼의 무작위 귤이 합 10이 될 확률이 나옵니다.

무작위 귤 두 개는 아홉 번에 한 번 10이 됩니다. 세 개는 스무 번에 한 번쯤입니다. 다섯 개가 되면 오백 번에 한 번 정도로 떨어집니다. 게다가 큰 묶음은 모양도 맞아야 합니다. 새 판에서 귤 다섯 개가 든 네모는 5가 소수라 1×5 한 줄밖에 없습니다. 이 이중 조건 때문에 새 판에는 짝이 수십 개 있어도 다섯 개짜리 네모는 대개 하나도 없습니다.

판에 실제로 나오는 조합

두 효과를 합치면 새 PC 판에서 가장 흔한 네모 목록이 나옵니다. 이 열두 가지가 첫 묶음의 대부분을 차지합니다.

짝 네 가지가 맨 위를 나눠 갖고, 그다음 5+5, 숫자가 모두 다른 세 개짜리 네 가지, 그리고 1+2+3+4 순입니다. 같은 숫자가 겹치는 조합은 모두 숫자가 다른 이웃 조합보다 아래에 있습니다. 5+5가 다른 짝보다 뒤처지는 것과 같은 이유입니다.

짧은 목록으로 판의 얼마를 덮을 수 있나

몇몇 조합이 나머지보다 훨씬 흔하기 때문에, 짧은 목록만으로 새 판의 대부분을 덮을 수 있습니다. 아래 표는 위의 판당 빈도를 더해 새 PC 판의 평균 전체 묶음 수(54.65개)로 나눈 것입니다.

짝 다섯 가지만으로 첫 판 묶음의 64%쯤을 차지합니다. 세 개짜리 네 가지만 더하면 81%가 되고, 모두 열네 가지면 새 판에 있는 것의 92%를 본 셈입니다. 나머지 네 개·다섯 개짜리 15가지와 그보다 긴 12가지가 남은 몫을 나눠 갖습니다. 많이 대충 아는 것보다 적게 확실히 아는 게 낫다는 가장 강한 근거가 이 숫자입니다. 그 15가지를 더 외워도 몇 %포인트밖에 늘지 않는데, 드래그할 때마다 찾는 시간은 늘어납니다.

처음 몇 판에서 흔히 느끼는 것도 이것으로 설명됩니다. 처음 하는 사람은 판이 "10이 될 뻔한 것투성이"라고 느끼곤 합니다. 5 옆의 4, 8 옆의 3 같은 것들입니다. 운이 나빠서가 아닙니다. 이웃한 두 칸이 정확히 10이 될 확률은 9분의 1이니 아홉 중 여덟은 10이 아니고, 1~9 두 숫자의 합은 대부분 6에서 14 사이라 그 여덟도 10 근처에 몰립니다.

시작할 때만이 아니라 게임 내내

새 판에는 빈칸이 없습니다. 귤이 터지면서 네모가 빈칸을 가로질러 늘어나고, 처음엔 불가능했던 조합이 가능해집니다. 봇 실험은 봇이 둔 모든 수의 크기를 기록했습니다. 늘 가장 큰 네모를 고르는 봇조차 짝이 59.63%, 세 개짜리 28.96%, 네 개짜리 9.97%, 다섯 개 이상 1.45%였습니다. 일부러 큰 네모를 찾아다녔는데도 그렇습니다. 짝을 먼저 고르는 봇은 80.28%를 짝으로 터뜨렸습니다. 큰 조합은 처음에만 드문 게 아니라 게임 내내 드뭅니다.

이 목록을 쓰는 법

41가지를 전부 외울 필요는 없습니다. 데이터로 보면 짝 다섯 가지와 숫자가 모두 다른 세 개짜리 네 가지가 판에 나오는 거의 전부입니다. 이것들을 눈에 익히는 방법은 공략에, 숫자별로 얼마나 자주 고립되는지까지 담은 새 판 통계는 판 통계에 있습니다.

이 숫자를 다시 만들어 보려면

이 페이지의 수치는 모두 Node.js로 돌리는 스크립트 하나, scripts/simulate.mjs에서 나왔습니다. 게임의 makeBoard 한 줄(칸마다 Math.floor(난수 × 9) + 1)을 그대로 옮기고, 브라우저 난수 대신 시드(20261020)를 고정한 난수를 써서 몇 번을 돌려도 같은 결과가 나오게 했습니다. 스크립트가 결과를 JSON 파일로 남기고 이 페이지는 그 파일로 만들어지기 때문에, 여기 있는 숫자 중 손으로 적은 것은 없습니다. 시드를 바꾸면 소수점 아래는 조금 달라지지만 결론은 그대로입니다.

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